cos(4*x)>-1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(4*x)>-1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(4*x) > -1

$$\cos{\left (4 x \right )} > -1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left (4 x \right )} > -1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (4 x \right )} = -1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (4 x \right )} = -1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$4 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (-1 \right )}$$
$$4 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (-1 \right )}$$
Или
$$4 x = \pi n + \pi$$
$$4 x = \pi n$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (4 x \right )} > -1$$
$$\cos{\left (4 \left(\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4} + - \frac{1}{10}\right) \right )} > -1$$

-cos(-2/5 + pi*n) > -1

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{4}$$
$$x > \frac{\pi n}{4}$$

Быстрый ответ

  /   /             pi\     /pi            \\
Or|And|-oo < x, x < --|, And|-- < x, x < oo||
  \   \             4 /     \4             //

$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      pi     pi     
(-oo, --) U (--, oo)
      4      4      

$$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$