cos(2*x)^2-sin(2*x)^2>-1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(2*x)^2-sin(2*x)^2>-1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2           2          
cos (2*x) - sin (2*x) > -1

$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} > -1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} > -1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} = -1$$
Решаем:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \sin^{2}{\left(2 x \right)} + \cos^{2}{\left(2 x \right)} > -1$$
$$- \sin^{2}{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)} + \cos^{2}{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)} > -1$$

   2           2          
sin (1/5) - cos (1/5) > -1
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \frac{\pi}{4}$$
$$x > \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

   /           pi       pi\
And|x > 0, x < --, x != --|
   \           2        4 /

$$x > 0 \wedge x < \frac{\pi}{2} \wedge x \neq \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ 2

    pi     pi  pi 
(0, --) U (--, --)
    4      4   2  

$$x\ in\ \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$$

График