cos(5*x)>sqrt(3)/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(5*x)>sqrt(3)/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

             ___
           \/ 3 
cos(5*x) > -----
             2  

$$\cos{\left(5 x \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(5 x \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(5 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(5 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$5 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$5 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
Или
$$5 x = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$5 x = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$5$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{30}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{30}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{30}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{30}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{30}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(5 x \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(5 \left(\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{30}\right) \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$

                      ___
    n    /1   pi\   \/ 3 
(-1) *sin|- + --| > -----
         \2   3 /     2  
                    

Тогда
$$x < \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{30}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{30} \wedge x < \frac{\pi n}{5} - \frac{\pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /11*pi          2*pi\\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|----- < x, x < ----||
  \   \            30/     \  30            5  //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{30}\right) \vee \left(\frac{11 \pi}{30} < x \wedge x < \frac{2 \pi}{5}\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     11*pi  2*pi 
[0, --) U (-----, ----)
    30       30    5   

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{30}\right) \cup \left(\frac{11 \pi}{30}, \frac{2 \pi}{5}\right)$$

График