cos(x)>-5/7 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>-5/7 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) > -5/7

$$\cos{\left(x \right)} > - \frac{5}{7}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} > - \frac{5}{7}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{5}{7}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{5}{7}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} > - \frac{5}{7}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)} \right)} > - \frac{5}{7}$$

    n                              
(-1) *cos(1/10 - acos(-5/7)) > -5/7
       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$
$$x > \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{5}{7} \right)}$$

Быстрый ответ

  /   /                     /    ___\\     /                   /    ___\    \\
  |   |                     |2*\/ 6 ||     |                   |2*\/ 6 |    ||
Or|And|0 <= x, x < pi - atan|-------||, And|x < 2*pi, pi + atan|-------| < x||
  \   \                     \   5   //     \                   \   5   /    //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5} \right)}\right) \vee \left(x < 2 \pi \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5} \right)} + \pi < x\right)$$

Быстрый ответ 2

             /    ___\              /    ___\       
             |2*\/ 6 |              |2*\/ 6 |       
[0, pi - atan|-------|) U (pi + atan|-------|, 2*pi)
             \   5   /              \   5   /       

$$x\ in\ \left[0, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5} \right)}\right) \cup \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{6}}{5} \right)} + \pi, 2 \pi\right)$$

График