cos(x)<=sqrt(2)/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)<=sqrt(2)/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

            ___
          \/ 2 
cos(x) <= -----
            2  

$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                        ___
    n    /1    pi\    \/ 2 
(-1) *sin|-- + --| <= -----
         \10   4 /      2  
                      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$

Быстрый ответ

   /pi            7*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \4              4  /

$$\frac{\pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{7 \pi}{4}$$

Быстрый ответ 2

 pi  7*pi 
[--, ----]
 4    4   

$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right]$$

График