cos(x)^2-sin(x)^2<=1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)^2-sin(x)^2<=1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2         2          
cos (x) - sin (x) <= 1/2

$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\cos{\left(2 x \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
$$\frac{1}{2} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-2) * (1/2) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{1}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} \leq \frac{1}{2}$$
$$- \sin^{2}{\left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} + \cos^{2}{\left(- \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} \leq \frac{1}{2}$$

   2/1    pi\      2/1    pi\       
sin |-- + --| - cos |-- + --| <= 1/2
    \10   3 /       \10   3 /       

но

   2/1    pi\      2/1    pi\       
sin |-- + --| - cos |-- + --| >= 1/2
    \10   3 /       \10   3 /       

Тогда
$$x \leq - \frac{5 \pi}{6}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq - \frac{\pi}{6}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x_1      x_2      x_3      x_4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq - \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

   /pi            5*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \6              6  /

$$\frac{\pi}{6} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
[--, ----]
 6    6   

$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$

График