cos(x)^3>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)^3>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   3       
cos (x) > 0

$$\cos^{3}{\left(x \right)} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos^{3}{\left(x \right)} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
преобразуем
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
$$\cos^{3}{\left(x \right)} + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Дано уравнение
$$w^{3} = 0$$
значит
$$w = 0$$
Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\cos^{3}{\left(x \right)} > 0$$
$$\cos^{3}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right)} > 0$$

   3          
sin (1/10) > 0
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi}{2}$$
$$x > \frac{3 \pi}{2}$$

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /3*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < 2*pi||
  \   \            2 /     \ 2                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     3*pi       
[0, --) U (----, 2*pi)
    2       2         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$$

График