cot(x)^2-cot(x)-2<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cot(x)^2-cot(x)-2<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2                     
cot (x) - cot(x) - 2 <= 0

$$\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} - 2 \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} - 2 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} - 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} - 2 = 0$$
преобразуем
$$\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} - 2 = 0$$
$$\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} - 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cot{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -2$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\cot{\left (x \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \operatorname{acot}{\left (2 \right )}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \operatorname{acot}{\left (2 \right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \operatorname{acot}{\left (2 \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  4    10

=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cot^{2}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )} - 2 \leq 0$$

   2/  pi   1 \      /  pi   1 \         
cot |- -- - --| - cot|- -- - --| - 2 <= 0
    \  4    10/      \  4    10/         

        2/1    pi\      /1    pi\     
-2 + cot |-- + --| + cot|-- + --| <= 0
         \10   4 /      \10   4 /     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq \operatorname{acot}{\left (2 \right )}$$

Быстрый ответ

  /   /     -pi          \                           \
Or|And|x <= ----, -oo < x|, And(acot(2) <= x, x < oo)|
  \   \      4           /                           /

$$\left(x \leq - \frac{\pi}{4} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\operatorname{acot}{\left (2 \right )} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

      -pi                  
(-oo, ----] U [acot(2), oo)
       4                   

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\operatorname{acot}{\left (2 \right )}, \infty\right)$$