sqrt(3*x)+3+sqrt(4*x)-4<=sqrt(6*x)+13 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(3*x)+3+sqrt(4*x)-4<=sqrt(6*x)+13 (множество решений неравенства)

Вы ввели

  _____         _____          _____     
\/ 3*x  + 3 + \/ 4*x  - 4 <= \/ 6*x  + 13

$$\sqrt{4 x} + \sqrt{3 x} - 4 + 3 \leq \sqrt{6 x} + 13$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{4 x} + \sqrt{3 x} - 4 + 3 \leq \sqrt{6 x} + 13$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{4 x} + \sqrt{3 x} - 4 + 3 = \sqrt{6 x} + 13$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{4 x} + \sqrt{3 x} - 4 + 3 = \sqrt{6 x} + 13$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$\sqrt{x} \left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right) = 14$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x \left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2} = 196$$
$$x \left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2} = 196$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$x \left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2} - 196 = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-196 + x2+sqrt+3 - sqrt6)^2 = 0

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-196 + x*(2 + sqrt(3) - sqrt(6))^2 = 0

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x \left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2} = 196$$
Разделим обе части ур-ния на (2 + sqrt(3) - sqrt(6))^2

x = 196 / ((2 + sqrt(3) - sqrt(6))^2)

Т.к.
$$\sqrt{x} = \frac{14}{- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2}$$
и
$$\sqrt{x} \geq 0$$
то
$$\frac{14}{- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2} \geq 0$$
$$x_{1} = \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}$$
$$x_{1} = \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}$$
$$x_{1} = \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{4 x} + \sqrt{3 x} - 4 + 3 \leq \sqrt{6 x} + 13$$
$$\left(-1\right) 4 + 3 + \sqrt{3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}\right)} + \sqrt{4 \left(- \frac{1}{10} + \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}\right)} \leq 13 + \sqrt{6 \left(- \frac{1}{10} + \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}\right)}$$

           _____________________________         ____________________________               ____________________________
          /   3            588                  /   2           784                        /   3           1176         
-1 +     /  - -- + --------------------  +     /  - - + --------------------     13 +     /  - - + -------------------- 
        /     10                      2       /     5                      2  <=         /     5                      2 
       /           /      ___     ___\       /          /      ___     ___\             /          /      ___     ___\  
     \/            \2 + \/ 3  - \/ 6 /     \/           \2 + \/ 3  - \/ 6 /           \/           \2 + \/ 3  - \/ 6 /  
    

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \frac{196}{\left(- \sqrt{6} + \sqrt{3} + 2\right)^{2}}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

   /                           196               \
And|0 <= x, x <= --------------------------------|
   |                      ___       ___       ___|
   \             13 - 6*\/ 2  - 4*\/ 6  + 4*\/ 3 /

$$0 \leq x \wedge x \leq \frac{196}{- 4 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3} + 13}$$

Быстрый ответ 2

                  196                
[0, --------------------------------]
             ___       ___       ___ 
    13 - 6*\/ 2  - 4*\/ 6  + 4*\/ 3  

$$x\ in\ \left[0, \frac{196}{- 4 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3} + 13}\right]$$