sqrt(x-6)-sqrt(10-x)>=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x-6)-sqrt(10-x)>=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

  _______     ________     
\/ x - 6  - \/ 10 - x  >= 1

$$- \sqrt{- x + 10} + \sqrt{x - 6} \geq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \sqrt{- x + 10} + \sqrt{x - 6} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sqrt{- x + 10} + \sqrt{x - 6} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sqrt{- x + 10} + \sqrt{x - 6} = 1$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{- x + 10} + \sqrt{x - 6}\right)^{2} = 1$$
или
$$\left(-1\right)^{2} \left(- x + 10\right) + - 2 \sqrt{\left(- x + 10\right) \left(x - 6\right)} + 1^{2} \left(x - 6\right) = 1$$
или
$$- 2 \sqrt{- x^{2} + 16 x - 60} + 4 = 1$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{- x^{2} + 16 x - 60} = -3$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- 4 x^{2} + 64 x - 240 = 9$$
$$- 4 x^{2} + 64 x - 240 = 9$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 4 x^{2} + 64 x - 249 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 64$$
$$c = -249$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(64)^2 - 4 * (-4) * (-249) = 112

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$

Т.к.
$$\sqrt{- x^{2} + 16 x - 60} = \frac{3}{2}$$
и
$$\sqrt{- x^{2} + 16 x - 60} \geq 0$$
то
$$\frac{3}{2} \geq 0$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
проверяем:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
$$- \sqrt{- x_{1} + 10} + \sqrt{x_{1} - 6} - 1 = 0$$
=
$$- \sqrt{- - \frac{\sqrt{7}}{2} + 8 + 10} + \sqrt{-6 + - \frac{\sqrt{7}}{2} + 8} - 1 = 0$$
=

-1 + sqrt(2 - sqrt(7)/2) - sqrt(2 + sqrt(7)/2) = 0

- Нет
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
$$- \sqrt{- x_{2} + 10} + \sqrt{x_{2} - 6} - 1 = 0$$
=
$$-1 + - \sqrt{- \frac{\sqrt{7}}{2} + 8 + 10} + \sqrt{-6 + \frac{\sqrt{7}}{2} + 8} = 0$$
=

0 = 0

- тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
=
$$\frac{\sqrt{7}}{2} + \frac{79}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \sqrt{- x + 10} + \sqrt{x - 6} \geq 1$$

     ____________________        _____________________     
    /       ___                 /            ___           
   /      \/ 7    1            /           \/ 7    1       
  /   8 + ----- - -- - 6  -   /   10 - 8 + ----- - --  >= 1
\/          2     10        \/               2     10      

     ____________        ____________     
    /        ___        /        ___      
   /  19   \/ 7        /  21   \/ 7   >= 1
  /   -- + -----  -   /   -- - -----      
\/    10     2      \/    10     2        

но

     ____________        ____________    
    /        ___        /        ___     
   /  19   \/ 7        /  21   \/ 7   < 1
  /   -- + -----  -   /   -- - -----     
\/    10     2      \/    10     2       

Тогда
$$x \leq \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

  /          ___            ___\
  |        \/ 7           \/ 7 |
Or|x = 8 - -----, x = 8 + -----|
  \          2              2  /

$$x = - \frac{\sqrt{7}}{2} + 8 \vee x = \frac{\sqrt{7}}{2} + 8$$

Быстрый ответ 2

       ___        ___ 
     \/ 7       \/ 7  
{8 - -----, 8 + -----}
       2          2   

$$x \in \left\{- \frac{\sqrt{7}}{2} + 8, \frac{\sqrt{7}}{2} + 8\right\}$$