sqrt(x+4)-sqrt(x-1)<sqrt(x-2) (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x+4)-sqrt(x-1)<sqrt(x-2) (множество решений неравенства)

Вы ввели

  _______     _______     _______
\/ x + 4  - \/ x - 1  < \/ x - 2 

$$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} < \sqrt{x - 2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} < \sqrt{x - 2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 2}$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4}\right)^{2} = x - 2$$
или
$$1^{2} \cdot \left(1 x + 4\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(1 x - 1\right) \left(1 x + 4\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(1 x - 1\right)\right) = x - 2$$
или
$$2 x - 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} + 3 = x - 2$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = - x - 5$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$4 x^{2} + 12 x - 16 = \left(- x - 5\right)^{2}$$
$$4 x^{2} + 12 x - 16 = x^{2} + 10 x + 25$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$3 x^{2} + 2 x - 41 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 2$$
$$c = -41$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (3) * (-41) = 496

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
Упростить
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$$
и
$$\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} \geq 0$$
то
$$\frac{x}{2} + \frac{5}{2} \geq 0$$
или
$$-5 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}$$
проверяем:
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
$$- \sqrt{x_{1} - 2} - \sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{1} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{\left(-1\right) 2 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} - \left(- \sqrt{\left(- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 4} + \sqrt{\left(-1\right) 1 - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}$$
$$- \sqrt{x_{2} - 2} - \sqrt{x_{2} - 1} + \sqrt{x_{2} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) - 2} + \left(- \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) - 1} + \sqrt{\left(- \frac{2 \sqrt{31}}{3} - \frac{1}{3}\right) + 4}\right) = 0$$
=

sqrt(11/3 - 2*sqrt(31)/3) - sqrt(-1/3 - 1 - 2*sqrt(31)/3) - sqrt(-1/3 - 2 - 2*sqrt(31)/3) = 0

- Нет
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - \left(\frac{1}{3} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)$$
=
$$- \frac{13}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} < \sqrt{x - 2}$$
$$- \sqrt{\left(-1\right) 1 - \left(\frac{13}{30} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)} + \sqrt{\left(- \frac{13}{30} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right) + 4} < \sqrt{\left(-1\right) 2 - \left(\frac{13}{30} - \frac{2 \sqrt{31}}{3}\right)}$$

     ________________        _________________        _________________
    /           ____        /            ____        /            ____ 
   /  107   2*\/ 31        /    43   2*\/ 31   <    /    73   2*\/ 31  
  /   --- + --------  -   /   - -- + --------      /   - -- + -------- 
\/     30      3        \/      30      3        \/      30      3     

но

     ________________        _________________        _________________
    /           ____        /            ____        /            ____ 
   /  107   2*\/ 31        /    43   2*\/ 31   >    /    73   2*\/ 31  
  /   --- + --------  -   /   - -- + --------      /   - -- + -------- 
\/     30      3        \/      30      3        \/      30      3     

Тогда
$$x < - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

   /                  ____    \
   |          1   2*\/ 31     |
And|x < oo, - - + -------- < x|
   \          3      3        /

$$x < \infty \wedge - \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3} < x$$

Быстрый ответ 2

           ____     
   1   2*\/ 31      
(- - + --------, oo)
   3      3         

$$x\ in\ \left(- \frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{31}}{3}, \infty\right)$$

График