sqrt(x)+2<x (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x)+2<x (множество решений неравенства)

Вы ввели

  ___        
\/ x  + 2 < x

$$\sqrt{x} + 2 < x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{x} + 2 < x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{x} + 2 = x$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{x} + 2 = x$$
$$\sqrt{x} = x - 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x = \left(x - 2\right)^{2}$$
$$x = x^{2} - 4 x + 4$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + 5 x - 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 5$$
$$c = -4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (-1) * (-4) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 4$$

Т.к.
$$\sqrt{x} = x - 2$$
и
$$\sqrt{x} \geq 0$$
то
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{x} + 2 < x$$
$$\sqrt{\frac{39}{10}} + 2 < \frac{39}{10}$$

      _____     
    \/ 390    39
2 + ------- < --
       10     10
     

но

      _____     
    \/ 390    39
2 + ------- > --
       10     10
     

Тогда
$$x < 4$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 4$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(4 < x, x < oo)

$$4 < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(4, oo)

$$x \in \left(4, \infty\right)$$