sqrt(x^2-3*x)<2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sqrt(x^2-3*x)<2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   __________    
  /  2           
\/  x  - 3*x  < 2

$$\sqrt{x^{2} - 3 x} < 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\sqrt{x^{2} - 3 x} < 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sqrt{x^{2} - 3 x} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sqrt{x^{2} - 3 x} = 2$$
$$\sqrt{x^{2} - 3 x} = 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$x^{2} - 3 x = 4$$
$$x^{2} - 3 x = 4$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$x^{2} - 3 x - 4 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -4$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-4) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 4$$
Упростить
$$x_{2} = -1$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{x^{2} - 3 x} = 2$$
и
$$\sqrt{x^{2} - 3 x} \geq 0$$
то
$$2 \geq 0$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sqrt{x^{2} - 3 x} < 2$$
$$\sqrt{\left(- \frac{11}{10}\right)^{2} - 3 \left(- \frac{11}{10}\right)} < 2$$

  _____    
\/ 451     
------- < 2
   10      
    

но

  _____    
\/ 451     
------- > 2
   10      
    

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

Or(And(3 <= x, x < 4), And(x <= 0, -1 < x))

$$\left(3 \leq x \wedge x < 4\right) \vee \left(x \leq 0 \wedge -1 < x\right)$$

Быстрый ответ 2

(-1, 0] U [3, 4)

$$x\ in\ \left(-1, 0\right] \cup \left[3, 4\right)$$