log(9*x)*27<=1/(log(3)*x) (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(9*x)*27<=1/(log(3)*x) (множество решений неравенства)

Вы ввели

                  1    
log(9*x)*27 <= --------
               log(3)*x

$$27 \log{\left (9 x \right )} \leq \frac{1}{x \log{\left (3 \right )}}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$27 \log{\left (9 x \right )} \leq \frac{1}{x \log{\left (3 \right )}}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$27 \log{\left (9 x \right )} = \frac{1}{x \log{\left (3 \right )}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$27 \log{\left (9 x \right )} = \frac{1}{x \log{\left (3 \right )}}$$
преобразуем
$$\frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \left(- x + \log{\left (7625597484987 \right )} \log{\left (9 x \right )}\right) = 0$$
$$\frac{1}{\log{\left (3 \right )}} \left(- x + \log{\left (7625597484987 \right )} \log{\left (9 x \right )}\right) = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (3 \right )}$$
Дано уравнение:
$$\frac{1}{w} \left(- x + \log{\left (7625597484987 \right )} \log{\left (9 x \right )}\right) = 0$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
получим:
$$- x + \log{\left (7625597484987 \right )} \log{\left (9 x \right )} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-x + log7625597484987log9*x = 0

Данное ур-ние не имеет решений
делаем обратную замену
$$\log{\left (3 \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}}$$
подставляем в выражение
$$27 \log{\left (9 x \right )} \leq \frac{1}{x \log{\left (3 \right )}}$$
$$27 \log{\left (9 \left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}}\right) \right )} \leq \frac{1}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}}\right) \log{\left (3 \right )}}$$

                                                       1                 
                                      -----------------------------------
      /                /   1    \\    /                /   1    \\       
      |        LambertW|--------||    |        LambertW|--------||       
      |  9             \3*log(3)/| <= |                \3*log(3)/|       
27*log|- -- + e                  |    |  1    e                  |       
      \  10                      /    |- -- + -------------------|*log(3)
                                      \  10            9         /       
                                      

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

   /              /   1    \       \
   |      LambertW|--------|       |
   |              \3*log(3)/       |
   |     e                         |
And|x <= -------------------, 0 < x|
   \              9                /

$$x \leq \frac{1}{9} e^{\operatorname{LambertW}{\left (\frac{1}{3 \log{\left (3 \right )}} \right )}} \wedge 0 < x$$

График