log(2)^(x+7)>3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(2)^(x+7)>3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   x + 7       
log     (2) > 3

$$\log{\left(2 \right)}^{x + 7} > 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(2 \right)}^{x + 7} > 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(2 \right)}^{x + 7} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\log{\left(2 \right)}^{x + 7} = 3$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{x + 7} - 3 = 0$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{7} \log{\left(2 \right)}^{x} = 3$$
или
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \log{\left(2 \right)}^{x}$$
получим
$$v - \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}} = 0$$
или
$$v - \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v - 3/log2^7 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v - 3/log(2)^7)/v

v = 0 / ((v - 3/log(2)^7)/v)

делаем обратную замену
$$\log{\left(2 \right)}^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}$$
$$x_{1} = \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(2 \right)}^{x + 7} > 3$$
$$\log{\left(2 \right)}^{7 - \left(\frac{1}{10} - \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}\right)} > 3$$

        69      3       
        -- + -------    
        10      7    > 3
             log (2)    
(log(2))                

Тогда
$$x < \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{3}{\log{\left(2 \right)}^{7}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x_1

Быстрый ответ

   /                     log(3)  \
And|-oo < x, x < -7 + -----------|
   \                  log(log(2))/

$$-\infty < x \wedge x < -7 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}$$

Быстрый ответ 2

              log(3)   
(-oo, -7 + -----------)
           log(log(2)) 

$$x\ in\ \left(-\infty, -7 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\log{\left(2 \right)} \right)}}\right)$$

График