Решение неравенств/ log(0.25)/log(2*x)>log(32*x)/log(2)-1

log(0.25)/log(2*x)>log(32*x)/log(2)-1 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(0.25)/log(2*x)>log(32*x)/log(2)-1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    log(1/4)   log(32*x)    
-------- > --------- - 1
log(2*x)     log(2)
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{4} \right )}}{\log{\left (2 x \right )}} > \frac{\log{\left (32 x \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - 1$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{4} \right )}}{\log{\left (2 x \right )}} > \frac{\log{\left (32 x \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{4} \right )}}{\log{\left (2 x \right )}} = \frac{\log{\left (32 x \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{4} \right )}}{\log{\left (2 x \right )}} = \frac{\log{\left (32 x \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - 1$$
    преобразуем
    $$- \frac{\log^{2}{\left (x \right )} + \log{\left (32 \right )} \log{\left (x \right )} + 6 \log^{2}{\left (2 \right )}}{\left(\log{\left (x \right )} + \log{\left (2 \right )}\right) \log{\left (2 \right )}} = 0$$
    $$- \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(\log{\left (x \right )} + \log{\left (32 \right )}\right) + 1 - \frac{\log{\left (4 \right )}}{\log{\left (x \right )} + \log{\left (2 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$- \frac{w + \log{\left (32 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} + 1 - \frac{\log{\left (4 \right )}}{w + \log{\left (2 \right )}} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    log(2) и w + log(2)
    получим:
    $$\left(- \frac{w + \log{\left (32 \right )}}{\log{\left (2 \right )}} + 1 - \frac{\log{\left (4 \right )}}{w + \log{\left (2 \right )}}\right) \log{\left (2 \right )} = 0$$
    $$- \frac{1}{w + \log{\left (2 \right )}} \left(w^{2} + w \log{\left (32 \right )} + 6 \log^{2}{\left (2 \right )}\right) = 0$$
    $$- \frac{1}{w + \log{\left (2 \right )}} \left(w^{2} + w \log{\left (32 \right )} + 6 \log^{2}{\left (2 \right )}\right) \left(w + \log{\left (2 \right )}\right) = 0 \left(w + \log{\left (2 \right )}\right)$$
    $$- w^{2} - 5 w \log{\left (2 \right )} - 6 \log^{2}{\left (2 \right )} = 0$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = - 5 \log{\left (2 \right )}$$
    $$c = - 6 \log^{2}{\left (2 \right )}$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-5*log(2))^2 - 4 * (-1) * (-6*log(2)^2) = log(2)^2

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = - 3 \log{\left (2 \right )}$$
    $$w_{2} = - 2 \log{\left (2 \right )}$$
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
         w
     -
     1
x = e

    упрощаем
    $$x = e^{w}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = \frac{1}{8}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{4}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{8}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{8}$$
    $$x_{2} = \frac{1}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{1}{40}$$
    =
    $$\frac{1}{40}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{4} \right )}}{\log{\left (2 x \right )}} > \frac{\log{\left (32 x \right )}}{\log{\left (2 \right )}} - 1$$
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{4} \right )}}{\log{\left (\frac{2}{40} \right )}} > -1 + \frac{\log{\left (\frac{32}{40} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
     log(4)        -log(5) + log(4)
------- > -1 + ----------------
log(20)             log(2)

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < \frac{1}{8}$$
     _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < \frac{1}{8}$$
    $$x > \frac{1}{4}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
    Or(And(-oo < x, x < 1/8), And(1/4 < x, x < 1/2))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{1}{8}\right) \vee \left(\frac{1}{4} < x \wedge x < \frac{1}{2}\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
    (-oo, 1/8) U (1/4, 1/2)
    $$x \in \left(-\infty, \frac{1}{8}\right) \cup \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$$