log(7)^6-2*x/x+4<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(7)^6-2*x/x+4<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   6      2*x         
log (7) - --- + 4 <= 0
           x          

$$\log^{6}{\left (7 \right )} - 2 + 4 \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log^{6}{\left (7 \right )} - 2 + 4 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log^{6}{\left (7 \right )} - 2 + 4 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\log^{6}{\left (7 \right )} - 2 + 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \log^{3}{\left (7 \right )}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} + \frac{2 v}{\log^{3}{\left (7 \right )}} = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = \frac{2}{\log^{3}{\left (7 \right )}}$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2/log(7)^3)^2 - 4 * (1) * (0) = 4/log(7)^6

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 0$$
$$v_{2} = - \frac{2}{\log^{3}{\left (7 \right )}}$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \log^{3}{\left (7 \right )}$$
то
$$x_{1} = \tilde{\infty} \sqrt[3]{v_{1}} + \tilde{\infty}$$
$$x_{3} = \tilde{\infty} \sqrt[3]{v_{2}} + \tilde{\infty}$$
тогда:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2}{\log^{3}{\left (7 \right )}}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2}{\log^{3}{\left (7 \right )}}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{2}{\log^{3}{\left (7 \right )}}$$
$$x_{1} = 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=

     2      1 
- ------- - --
     3      10
  log (7)     

=
$$- \frac{2}{\log^{3}{\left (7 \right )}} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\log^{6}{\left (7 \right )} - 2 + 4 \leq 0$$

            /     2      1 \         
          2*|- ------- - --|         
            |     3      10|         
   6        \  log (7)     /         
log (7) - ------------------ + 4 <= 0
                          1          
          /     2      1 \           
          |- ------- - --|           
          |     3      10|           
          \  log (7)     /           

                1      4         
              - - - -------      
                5      3         
       6            log (7)      
4 + log (7) - -------------- <= 0
                1       2        
              - -- - -------     
                10      3        
                     log (7)     

но

                1      4         
              - - - -------      
                5      3         
       6            log (7)      
4 + log (7) - -------------- >= 0
                1       2        
              - -- - -------     
                10      3        
                     log (7)     

Тогда
$$x \leq - \frac{2}{\log^{3}{\left (7 \right )}}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{2}{\log^{3}{\left (7 \right )}} \wedge x \leq 0$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений