log(16)*(x^2-3*x)>1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(16)*(x^2-3*x)>1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

        / 2      \      
log(16)*\x  - 3*x/ > 1/2

$$\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(16 \right)} > \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(16 \right)} > \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(16 \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(16 \right)} = \frac{1}{2}$$
в
$$\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(16 \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(16 \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$4 x^{2} \log{\left(2 \right)} - 12 x \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2} = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4 \log{\left(2 \right)}$$
$$b = - 12 \log{\left(2 \right)}$$
$$c = - \frac{1}{2}$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-12*log(2))^2 - 4 * (4*log(2)) * (-1/2) = 8*log(2) + 144*log(2)^2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{12 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
Упростить
$$x_{1} = \frac{12 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{12 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{12 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
подставляем в выражение
$$\left(x^{2} - 3 x\right) \log{\left(16 \right)} > \frac{1}{2}$$
$$\left(\left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}\right)^{2} - 3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}\right)\right) \log{\left(16 \right)} > \frac{1}{2}$$

/                                                       2                                                \              
|     /            ________________________            \      /     ________________________            \|              
|     |           /                   2                |      |    /                   2                ||              
|3    |  1    - \/  8*log(2) + 144*log (2)  + 12*log(2)|    3*\- \/  8*log(2) + 144*log (2)  + 12*log(2)/|         > 1/2
|-- + |- -- + -----------------------------------------|  - ---------------------------------------------|*log(16)      
\10   \  10                    8*log(2)                /                       8*log(2)                  /              
      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{- \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 12 \log{\left(2 \right)}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x > \frac{12 \log{\left(2 \right)} + \sqrt{8 \log{\left(2 \right)} + 144 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{8 \log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

  /   /                   ___   _______________\     /              ___   _______________    \\
  |   |             3   \/ 2 *\/ 1 + 18*log(2) |     |        3   \/ 2 *\/ 1 + 18*log(2)     ||
Or|And|-oo < x, x < - - -----------------------|, And|x < oo, - + ----------------------- < x||
  |   |             2             ________     |     |        2             ________         ||
  \   \                       4*\/ log(2)      /     \                  4*\/ log(2)          //

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + 18 \log{\left(2 \right)}}}{4 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}} + \frac{3}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + 18 \log{\left(2 \right)}}}{4 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}} < x\right)$$

Быстрый ответ 2

            ___   _______________           ___   _______________     
      3   \/ 2 *\/ 1 + 18*log(2)      3   \/ 2 *\/ 1 + 18*log(2)      
(-oo, - - -----------------------) U (- + -----------------------, oo)
      2             ________          2             ________          
                4*\/ log(2)                     4*\/ log(2)           

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + 18 \log{\left(2 \right)}}}{4 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}} + \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{1 + 18 \log{\left(2 \right)}}}{4 \sqrt{\log{\left(2 \right)}}}, \infty\right)$$

График