log(3^x-1)*log(3^(x+1)-3)<6 (неравенство)

Укажите решение неравенства: log(3^x-1)*log(3^(x+1)-3)<6 (множество решений неравенства)

Вы ввели

   / x    \    / x + 1    \    
log\3  - 1/*log\3      - 3/ < 6

$$\log{\left(3^{x} - 1 \right)} \log{\left(3^{x + 1} - 3 \right)} < 6$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\log{\left(3^{x} - 1 \right)} \log{\left(3^{x + 1} - 3 \right)} < 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\log{\left(3^{x} - 1 \right)} \log{\left(3^{x + 1} - 3 \right)} = 6$$
Решаем:
$$x_{1} = 1.90483494677628$$
$$x_{2} = 1.90483494677628 + 102.945631225685 i$$
$$x_{3} = 1.90483494677628 + 160.137648573287 i$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 1.90483494677628$$
Данные корни
$$x_{1} = 1.90483494677628$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1.90483494677628$$
=
$$1.80483494677628$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(3^{x} - 1 \right)} \log{\left(3^{x + 1} - 3 \right)} < 6$$
$$\log{\left(\left(-1\right) 1 + 3^{1.80483494677628} \right)} \log{\left(\left(-1\right) 3 + 3^{1 + 1.80483494677628} \right)} < 6$$

5.38166949411662 < 6

значит решение неравенства будет при:
$$x < 1.90483494677628$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

   /       /              ______________\     /               ______________ \    \
   |       |             /         2    |     |              /         2     |    |
   |       |           \/  24 + log (3) |     |           -\/  24 + log (3)  |    |
   |       |           -----------------|     |           -------------------|    |
   |       |      ___          2        |     |      ___           2         |    |
   |       |    \/ 3 *e                 |     |    \/ 3 *e                   |    |
   |    log|1 + ------------------------|  log|1 + --------------------------|    |
   |       \               3            /     \                3             /    |
And|x < ---------------------------------, ----------------------------------- < x|
   \                  log(3)                              log(3)                  /

$$x < \frac{\log{\left(1 + \frac{\sqrt{3} e^{\frac{\sqrt{\log{\left(3 \right)}^{2} + 24}}{2}}}{3} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} \wedge \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{3}}{3 e^{\frac{\sqrt{\log{\left(3 \right)}^{2} + 24}}{2}}} + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} < x$$

Быстрый ответ 2

    /               ______________ \     /              ______________\ 
    |              /         2     |     |             /         2    | 
    |           -\/  24 + log (3)  |     |           \/  24 + log (3) | 
    |           -------------------|     |           -----------------| 
    |      ___           2         |     |      ___          2        | 
    |    \/ 3 *e                   |     |    \/ 3 *e                 | 
 log|1 + --------------------------|  log|1 + ------------------------| 
    \                3             /     \               3            / 
(-----------------------------------, ---------------------------------)
                log(3)                              log(3)              

$$x\ in\ \left(\frac{\log{\left(\frac{\sqrt{3}}{3 e^{\frac{\sqrt{\log{\left(3 \right)}^{2} + 24}}{2}}} + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}, \frac{\log{\left(1 + \frac{\sqrt{3} e^{\frac{\sqrt{\log{\left(3 \right)}^{2} + 24}}{2}}}{3} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right)$$

График