Решение неравенств/ log(x)/log(16-6*x-x^2)<=1

log(x)/log(16-6*x-x^2)<=1 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(x)/log(16-6*x-x^2)<=1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
          log(x)           
------------------ <= 1
   /            2\     
log\16 - 6*x - x /
    $$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(- x^{2} - 6 x + 16 \right)}} \leq 1$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(- x^{2} - 6 x + 16 \right)}} \leq 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(- x^{2} - 6 x + 16 \right)}} = 1$$
    Решаем:
    $$x_{1} = - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{113}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{7}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{113}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{7}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{7}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{113}}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\left(- \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{7}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{18}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(- x^{2} - 6 x + 16 \right)}} \leq 1$$
    $$\frac{\log{\left(- \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{18}{5} \right)}}{\log{\left(- \left(- \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{18}{5}\right)^{2} + 16 - 6 \left(- \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{18}{5}\right) \right)}} \leq 1$$
                           /       _____\                 
                       |18   \/ 113 |                 
             pi*I + log|-- + -------|                 
                       \5       2   /                 
-------------------------------------------------     
          /                        2            \ <= 1
          |        /         _____\             |     
          |  188   |  18   \/ 113 |        _____|     
pi*I + log|- --- + |- -- - -------|  - 3*\/ 113 |     
          \   5    \  5       2   /             /

    Тогда
    $$x \leq - \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{7}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq - \frac{\sqrt{113}}{2} - \frac{7}{2} \wedge x \leq - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{113}}{2}$$
             _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
      /   /             _____       \                              \
  |   |       7   \/ 113        |     /                ___    \|
Or|And|x <= - - + -------, 0 < x|, And\x < 2, -3 + 2*\/ 6  < x/|
  \   \       2      2          /                              /
    $$\left(x \leq - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{113}}{2} \wedge 0 < x\right) \vee \left(x < 2 \wedge -3 + 2 \sqrt{6} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
                _____                     
      7   \/ 113               ___    
(0, - - + -------] U (-3 + 2*\/ 6 , 2)
      2      2
    $$x\ in\ \left(0, - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{113}}{2}\right] \cup \left(-3 + 2 \sqrt{6}, 2\right)$$
    График
    log(x)/log(16-6*x-x^2)<=1 (неравенство) /media/krcore-image-pods/hash/76bd65beae/7f9dd444bd/23565fc229e7/im.png