Решение неравенств/ log(x)*x<=2

log(x)*x<=2 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(x)*x<=2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    log(x)*x <= 2
    $$x \log{\left (x \right )} \leq 2$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$x \log{\left (x \right )} \leq 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x \log{\left (x \right )} = 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$x \log{\left (x \right )} = 2$$
    преобразуем
    $$x \log{\left (x \right )} - 2 = 0$$
    $$x \log{\left (x \right )} - 2 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x \right )}$$
    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
    $$w x = 2$$
    Разделим обе части ур-ния на x
    w = 2 / (x)

    Получим ответ: w = 2/x
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
         w
     -
     1
x = e

    упрощаем
    $$x = e^{w}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}$$
    $$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}$$
    подставляем в выражение
    $$x \log{\left (x \right )} \leq 2$$
    $$\left(- \frac{1}{10} + e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}\right) \log{\left (- \frac{1}{10} + e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}} \right )} \leq 2$$
    /  1     LambertW(2)\    /  1     LambertW(2)\     
|- -- + e           |*log|- -- + e           | <= 2
\  10               /    \  10               /

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}$$
     _____          
      \    
-------•-------
       x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /      LambertW(2)         \
And\x <= e           , -oo < x/
    $$x \leq e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}} \wedge -\infty < x$$
    Быстрый ответ 2 [src]
           LambertW(2) 
(-oo, e           ]
    $$x \in \left(-\infty, e^{\operatorname{LambertW}{\left (2 \right )}}\right]$$