Решение неравенств/ log(x)*x-1>0

log(x)*x-1>0 (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(x)*x-1>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    log(x)*x - 1 > 0
    $$x \log{\left (x \right )} - 1 > 0$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$x \log{\left (x \right )} - 1 > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x \log{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$x \log{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    преобразуем
    $$x \log{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    $$x \log{\left (x \right )} - 1 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x \right )}$$
    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
    $$w x = 1$$
    Разделим обе части ур-ния на x
    w = 1 / (x)

    Получим ответ: w = 1/x
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    $$\log{\left (x \right )} = w$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
         w
     -
     1
x = e

    упрощаем
    $$x = e^{w}$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}$$
    $$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}$$
    подставляем в выражение
    $$x \log{\left (x \right )} - 1 > 0$$
    $$\left(- \frac{1}{10} + e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}\right) \log{\left (- \frac{1}{10} + e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}} \right )} - 1 > 0$$
         /  1     LambertW(1)\    /  1     LambertW(1)\    
-1 + |- -- + e           |*log|- -- + e           | > 0
     \  10               /    \  10               /

    Тогда
    $$x < e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x > e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}$$
             _____  
        /
-------ο-------
       x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
       /         LambertW(1)    \
And\x < oo, e            < x/
    $$x < \infty \wedge e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}} < x$$
    Быстрый ответ 2 [src]
      LambertW(1)     
(e           , oo)
    $$x \in \left(e^{\operatorname{LambertW}{\left (1 \right )}}, \infty\right)$$