(m-x)*(10-x)<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (m-x)*(10-x)<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

(m - x)*(10 - x) < 0

$$\left(10 - x\right) \left(m - x\right) < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(m - x\right) \left(- x + 10\right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(m - x\right) \left(- x + 10\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(m - x\right) \left(- x + 10\right) = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$- m x + 10 m + x^{2} - 10 x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = - m - 10$$
$$c = 10 m$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-10 - m)^2 - 4 * (1) * (10*m) = (-10 - m)^2 - 40*m

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{m}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
$$x_{2} = \frac{m}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
$$x_{1} = \frac{m}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
$$x_{2} = \frac{m}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
$$x_{1} = \frac{m}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
$$x_{2} = \frac{m}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{m}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
$$x_{2} = \frac{m}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

           ___________________     
          /          2             
    m   \/  (-10 - m)  - 40*m    1 
5 + - + ---------------------- - --
    2             2              10

=
$$\frac{m}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + \frac{49}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(m - x\right) \left(- x + 10\right) < 0$$

/               ___________________     \ /                ___________________     \    
|              /          2             | |               /          2             |    
|        m   \/  (-10 - m)  - 40*m    1 | |         m   \/  (-10 - m)  - 40*m    1 |    
|m - 5 + - + ---------------------- - --|*|10 - 5 + - + ---------------------- - --| < 0
\        2             2              10/ \         2             2              10/    

/              ___________________\ /            ___________________\    
|             /          2        | |           /          2        |    
|  49   m   \/  (-10 - m)  - 40*m | |51   m   \/  (-10 - m)  - 40*m | < 0
|- -- + - - ----------------------|*|-- - - - ----------------------|    
\  10   2             2           / \10   2             2           /    

Тогда
$$x < \frac{m}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{m}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5 \wedge x < \frac{m}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{- 40 m + \left(- m - 10\right)^{2}} + 5$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2