-cos(x+pi/4)>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: -cos(x+pi/4)>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

    /    pi\    
-cos|x + --| > 0
    \    4 /    

$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
Или
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x + \frac{\pi}{4} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} > 0$$
$$- \cos{\left(\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} \right)} > 0$$

     n              
-(-1) *sin(1/10) > 0
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \pi n + \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x > \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$

Быстрый ответ

   /pi          5*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \4            4  /

$$\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{4}$$

Быстрый ответ 2

 pi  5*pi 
(--, ----)
 4    4   

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$$

График