-16/((x+2)^2)-5>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: -16/((x+2)^2)-5>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     16           
- -------- - 5 > 0
         2        
  (x + 2)         

$$-5 - \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$-5 - \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$-5 - \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$-5 - \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -2 - содержит чётное число -2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень -2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{4 i \sqrt{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\frac{1}{4 i \sqrt{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$$
или
$$- \frac{i}{4} \left(x + 2\right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$- \frac{i}{4} \left(x + 2\right) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-i2/4+x/4 = sqrt(5)/5

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-i2/4+x/4 = sqrt5/5

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-i*(2 + x)/4 = sqrt5/5

Разделим обе части ур-ния на -i*(2 + x)/(4*x)

x = sqrt(5)/5 / (-i*(2 + x)/(4*x))

Получим ответ: x = -2 + 4*i*sqrt(5)/5
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-i2/4+x/4 = -sqrt(5)/5

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-i2/4+x/4 = -sqrt5/5

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

-i*(2 + x)/4 = -sqrt5/5

Разделим обе части ур-ния на -i*(2 + x)/(4*x)

x = -sqrt(5)/5 / (-i*(2 + x)/(4*x))

Получим ответ: x = -2 - 4*i*sqrt(5)/5
или
$$x_{1} = -2 - \frac{4 i}{5} \sqrt{5}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{4 i}{5} \sqrt{5}$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 2$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{2}} = - \frac{5}{16}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{r^{2}} e^{- 2 i p} = - \frac{5}{16}$$
где
$$r = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 2 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left (2 p \right )} + \cos{\left (2 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (2 p \right )} = 1$$
и
$$- \sin{\left (2 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = - \pi N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{4 i}{5} \sqrt{5}$$
$$z_{2} = \frac{4 i}{5} \sqrt{5}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 2$$
$$x = z - 2$$

$$x_{1} = -2 + \frac{4 i}{5} \sqrt{5}$$
$$x_{2} = -2 - \frac{4 i}{5} \sqrt{5}$$
Исключаем комплексные решения:
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

    16         
- ----- - 5 > 0
      1        
  / 2\         
  \2 /         

-9 > 0

зн. неравенство не имеет решений

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений

График