|2*x-1|>x (неравенство)

Укажите решение неравенства: |2*x-1|>x (множество решений неравенства)

Вы ввели

|2*x - 1| > x

$$\left|{2 x - 1}\right| > x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{2 x - 1}\right| > x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{2 x - 1}\right| = x$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$2 x - 1 \geq 0$$
или
$$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- x + 2 x - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 1$$

2.
$$2 x - 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2}$$
получаем ур-ние
$$- x + - 2 x + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 3 x + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$


$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Данные корни
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
подставляем в выражение
$$\left|{2 x - 1}\right| > x$$
$$\left|{-1 + \frac{14}{30} 1}\right| > \frac{7}{30}$$

8/15 > 7/30

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{1}{3}$$
$$x > 1$$

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 1/3), And(1 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{1}{3}\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 1/3) U (1, oo)

$$x \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup \left(1, \infty\right)$$