|x|>|2*x+1| (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x|>|2*x+1| (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x}\right| > \left|{2 x + 1}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x}\right| = \left|{2 x + 1}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x \geq 0$$
$$2 x + 1 \geq 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x - 2 x + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -1$$
но x1 не удовлетворяет неравенству
2.
$$x \geq 0$$
$$2 x + 1 < 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
3.
$$x < 0$$
$$2 x + 1 \geq 0$$
или
$$- \frac{1}{2} \leq x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x - 2 x + 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 3 x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
4.
$$x < 0$$
$$2 x + 1 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2}$$
получаем ур-ние
$$- x - - 2 x - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x + 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x}\right| > \left|{2 x + 1}\right|$$
$$\left|{- \frac{11}{10}}\right| > \left|{\frac{-22}{10} 1 + 1}\right|$$
11 -- > 6/5 10
Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < - \frac{1}{3}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1
Решение неравенства на графике