|x-3|+|x|-2<5 (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x-3|+|x|-2<5 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x - 3| + |x| - 2 < 5

$$\left|{x}\right| + \left|{x - 3}\right| - 2 < 5$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 3}\right| - 2 < 5$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 3}\right| - 2 = 5$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
$$x - 3 \geq 0$$
или
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x + x - 3 - 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x - 10 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 5$$

2.
$$x \geq 0$$
$$x - 3 < 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < 3$$
получаем ур-ние
$$x + - x + 3 - 7 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии

3.
$$x < 0$$
$$x - 3 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

4.
$$x < 0$$
$$x - 3 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x + - x + 3 - 7 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x - 4 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -2$$


$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 3}\right| - 2 < 5$$
$$-2 + \left|{- \frac{21}{10}}\right| + \left|{-3 - \frac{21}{10}}\right| < 5$$

26/5 < 5

но

26/5 > 5

Тогда
$$x < -2$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -2 \wedge x < 5$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Быстрый ответ

And(-2 < x, x < 5)

$$-2 < x \wedge x < 5$$

Быстрый ответ 2

(-2, 5)

$$x \in \left(-2, 5\right)$$

График