|x+2|<7*x (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x+2|<7*x (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x + 2| < 7*x

$$\left|{x + 2}\right| < 7 x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x + 2}\right| < 7 x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x + 2}\right| = 7 x$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x + 2 \geq 0$$
или
$$-2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$- 7 x + x + 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 6 x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$

2.
$$x + 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
получаем ур-ние
$$- 7 x + - x - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 8 x - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = - \frac{1}{4}$$
но x2 не удовлетворяет неравенству


$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x + 2}\right| < 7 x$$
$$\left|{\frac{7}{30} + 2}\right| < \frac{49}{30} 1$$

67   49
-- < --
30   30

но

67   49
-- > --
30   30

Тогда
$$x < \frac{1}{3}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{3}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(1/3 < x, x < oo)

$$\frac{1}{3} < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(1/3, oo)

$$x \in \left(\frac{1}{3}, \infty\right)$$

График