|x|+|x-2|>2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x|+|x-2|>2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

|x| + |x - 2| > 2

$$\left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| > 2$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| > 2$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| = 2$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x + x - 2 - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x - 4 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 2$$

2.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$x + - x + 2 - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
тождество
решение на этом интервале:
любое x на данном интервале

3.
$$x < 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

4.
$$x < 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x + - x + 2 - 2 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = 0$$
но x2 не удовлетворяет неравенству


$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0 \leq x \wedge x < 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| > 2$$
$$\left|{-2 + \frac{19}{10}}\right| + \left|{\frac{19}{10}}\right| > 2$$

2 > 2

но

2 = 2

Тогда
$$x < 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 2$$
Но вспомним, что решения уравнения с модулем были:
$$2$$
$$0 \leq x \wedge x < 2$$
зн. неравенство не имеет решений

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 0), And(2 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(2 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 0) U (2, oo)

$$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(2, \infty\right)$$