|x|+|x-2|<3 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x|+|x-2|<3 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| < 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| = 3$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
или
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
получаем ур-ние
$$x + x - 2 - 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x - 5 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
2.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$0 \leq x \wedge x < 2$$
получаем ур-ние
$$x + - x + 2 - 3 = 0$$
упрощаем, получаем
неверно
решение на этом интервале:
Не найдены корни при этом условии
3.
$$x < 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем
4.
$$x < 0$$
$$x - 2 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
получаем ур-ние
$$- x + - x + 2 - 3 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x - 1 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| < 3$$
$$\left|{- \frac{3}{5}}\right| + \left|{-2 - \frac{3}{5}}\right| < 3$$
16/5 < 3
но
16/5 > 3
Тогда
$$x < - \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{5}{2}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1
Решение неравенства на графике