|x^2-1|>1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x^2-1|>1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

| 2    |    
|x  - 1| > 1

$$\left|{x^{2} - 1}\right| > 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x^{2} - 1}\right| > 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x^{2} - 1}\right| = 1$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x^{2} - 1 \geq 0$$
или
$$\left(1 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -1 \wedge -\infty < x\right)$$
получаем ур-ние
$$x^{2} - 1 - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} - 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$

2.
$$x^{2} - 1 < 0$$
или
$$-1 < x \wedge x < 1$$
получаем ур-ние
$$- x^{2} + 1 - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = 0$$


$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 0$$
Данные корни
$$x_{1} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

    ___   1 
- \/ 2  - --
          10

=
$$- \sqrt{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} - 1}\right| > 1$$

|              2    |    
|/    ___   1 \     |    
||- \/ 2  - --|  - 1| > 1
|\          10/     |    

                 2    
     /1      ___\     
-1 + |-- + \/ 2 |  > 1
     \10        /     
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < - \sqrt{2}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x3      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < - \sqrt{2}$$
$$x > 0 \wedge x < \sqrt{2}$$

Быстрый ответ

  /   /                ___\     /  ___            \\
Or\And\-oo < x, x < -\/ 2 /, And\\/ 2  < x, x < oo//

$$\left(-\infty < x \wedge x < - \sqrt{2}\right) \vee \left(\sqrt{2} < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

         ___       ___     
(-oo, -\/ 2 ) U (\/ 2 , oo)

$$x \in \left(-\infty, - \sqrt{2}\right) \cup \left(\sqrt{2}, \infty\right)$$

График