|x^2-16*x+36|<=|36-x^2| (неравенство)

Укажите решение неравенства: |x^2-16*x+36|<=|36-x^2| (множество решений неравенства)

Вы ввели

| 2            |    |      2|
|x  - 16*x + 36| <= |36 - x |

$$\left|{x^{2} - 16 x + 36}\right| \leq \left|{36 - x^{2}}\right|$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left|{x^{2} - 16 x + 36}\right| \leq \left|{36 - x^{2}}\right|$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x^{2} - 16 x + 36}\right| = \left|{36 - x^{2}}\right|$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.

1.
$$x^{2} - 36 \geq 0$$
$$x^{2} - 16 x + 36 \geq 0$$
или
$$\left(x \leq -6 \wedge -\infty < x\right) \vee \left(2 \sqrt{7} + 8 \leq x \wedge x < \infty\right)$$
получаем ур-ние
$$- (x^{2} - 36) + \left(x^{2} - 16 x + 36\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$72 - 16 x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = \frac{9}{2}$$
но x1 не удовлетворяет неравенству

2.
$$x^{2} - 36 \geq 0$$
$$x^{2} - 16 x + 36 < 0$$
или
$$6 \leq x \wedge x < 2 \sqrt{7} + 8$$
получаем ур-ние
$$- (x^{2} - 36) - \left(x^{2} - 16 x + 36\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x^{2} + 16 x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = 0$$
но x2 не удовлетворяет неравенству
$$x_{3} = 8$$

3.
$$x^{2} - 36 < 0$$
$$x^{2} - 16 x + 36 \geq 0$$
или
$$x \leq 8 - 2 \sqrt{7} \wedge -6 < x$$
получаем ур-ние
$$- (36 - x^{2}) + \left(x^{2} - 16 x + 36\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x^{2} - 16 x = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{5} = 8$$
но x5 не удовлетворяет неравенству

4.
$$x^{2} - 36 < 0$$
$$x^{2} - 16 x + 36 < 0$$
или
$$x < 6 \wedge 8 - 2 \sqrt{7} < x$$
получаем ур-ние
$$- (36 - x^{2}) - \left(x^{2} - 16 x + 36\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$16 x - 72 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{6} = \frac{9}{2}$$


$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = \frac{9}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} - 16 x + 36}\right| \leq \left|{36 - x^{2}}\right|$$
$$\left|{\left(- \frac{1}{10}\right)^{2} - 16 \left(- \frac{1}{10}\right) + 36}\right| \leq \left|{36 - \left(- \frac{1}{10}\right)^{2}}\right|$$

3761    3599
---- <= ----
100     100 

но

3761    3599
---- >= ----
100     100 

Тогда
$$x \leq 0$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{9}{2}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x3      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq 0 \wedge x \leq \frac{9}{2}$$
$$x \geq 8$$

Быстрый ответ

Or(And(0 <= x, x <= 9/2), And(8 <= x, x < oo))

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{9}{2}\right) \vee \left(8 \leq x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

[0, 9/2] U [8, oo)

$$x\ in\ \left[0, \frac{9}{2}\right] \cup \left[8, \infty\right)$$

График