Решение неравенств/ |x^2-3|>x

|x^2-3|>x (неравенство)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: |x^2-3|>x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели [src]
    | 2    |    
|x  - 3| > x
    $$\left|{x^{2} - 3}\right| > x$$
    Подробное решение
    Дано неравенство:
    $$\left|{x^{2} - 3}\right| > x$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{x^{2} - 3}\right| = x$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x^{2} - 3 \geq 0$$
    или
    $$\left(x \leq - \sqrt{3} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\sqrt{3} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    получаем ур-ние
    $$- x + x^{2} - 3 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$x^{2} - x - 3 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}$$
    но x2 не удовлетворяет неравенству

    2.
    $$x^{2} - 3 < 0$$
    или
    $$- \sqrt{3} < x \wedge x < \sqrt{3}$$
    получаем ур-ние
    $$- x + - x^{2} + 3 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- x^{2} - x + 3 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x_{4} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
    но x4 не удовлетворяет неравенству


    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    =
    $$- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{x^{2} - 3}\right| > x$$
    $$\left|{-3 + \left(- \frac{1}{10} + - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right)^{2}}\right| > - \frac{1}{10} + - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
                    2           ____
    /      ____\      3   \/ 13 
    |3   \/ 13 |  > - - + ------
3 - |- - ------|      5     2   
    \5     2   /

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
     _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ [src]
      /   /                     ____\     /              ____    \\
  |   |               1   \/ 13 |     |        1   \/ 13     ||
Or|And|-oo < x, x < - - + ------|, And|x < oo, - + ------ < x||
  \   \               2     2   /     \        2     2       //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2 [src]
                  ____           ____     
        1   \/ 13      1   \/ 13      
(-oo, - - + ------) U (- + ------, oo)
        2     2        2     2
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \infty\right)$$