|x^2-3|<6 (неравенство)
Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Укажите решение неравенства: |x^2-3|<6 (множество решений неравенства)
Решение
Подробное решение
$$\left|{x^{2} - 3}\right| < 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left|{x^{2} - 3}\right| = 6$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в ур-нии
допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся ур-ния.
1.
$$x^{2} - 3 \geq 0$$
или
$$\left(x \leq - \sqrt{3} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\sqrt{3} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
получаем ур-ние
$$x^{2} - 3 - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} - 9 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
2.
$$x^{2} - 3 < 0$$
или
$$- \sqrt{3} < x \wedge x < \sqrt{3}$$
получаем ур-ние
$$- x^{2} + 3 - 6 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} - 3 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = - \sqrt{3} i$$
но x3 не удовлетворяет неравенству
$$x_{4} = \sqrt{3} i$$
но x4 не удовлетворяет неравенству
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} - 3}\right| < 6$$
$$\left|{-3 + \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}}\right| < 6$$
661 --- < 6 100
но
661 --- > 6 100
Тогда
$$x < -3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -3 \wedge x < 3$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2
Решение неравенства на графике