(1/2)^x<4 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/2)^x<4 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x    
2   < 4

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 4$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 4$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 4$$
или
$$-4 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 4$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 4$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$v - 4 = 0$$
или
$$v - 4 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 4$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Данные корни
$$x_{1} = 4$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
=
$$\frac{39}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 4$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{39}{10}} < 4$$

10___    
\/ 2     
----- < 4
  16     
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 4$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

And(-2 < x, x < oo)

$$-2 < x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

(-2, oo)

$$x \in \left(-2, \infty\right)$$