(1/2)^x<8 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/2)^x<8 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x    
2   < 8

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 8$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 8$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 8$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 8$$
или
$$-8 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 8$$
или
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 8$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$v - 8 = 0$$
или
$$v - 8 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 8$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{1} = 8$$
Данные корни
$$x_{1} = 8$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 8$$
=
$$\frac{79}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 8$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{79}{10}} < 8$$

10___    
\/ 2     
----- < 8
 256     
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 8$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

-log(8)     
-------- < x
 log(2)     

$$- \frac{\log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} < x$$

Быстрый ответ 2

 -log(8)      
(--------, oo)
  log(2)      

$$x\ in\ \left(- \frac{\log{\left(8 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$

График