(1/27)^x<3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/27)^x<3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

  -x    
27   < 3

$$\left(\frac{1}{27}\right)^{x} < 3$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{x} < 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{x} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{x} = 3$$
или
$$-3 + \left(\frac{1}{27}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{x} = 3$$
или
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{x} = 3$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{27}\right)^{x}$$
получим
$$v - 3 = 0$$
или
$$v - 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 3$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(27 \right)}}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{x} < 3$$
$$\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{29}{10}} < 3$$

 3/10    
3        
----- < 3
19683    
    

значит решение неравенства будет при:
$$x < 3$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

-log(3)     
-------- < x
log(27)     

$$- \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(27 \right)}} < x$$

Быстрый ответ 2

 -log(3)      
(--------, oo)
 log(27)      

$$x\ in\ \left(- \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(27 \right)}}, \infty\right)$$

График