(1/3)^x<1/9 (неравенство)

Укажите решение неравенства: (1/3)^x<1/9 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -x      
3   < 1/9

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} < \frac{1}{9}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} < \frac{1}{9}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = \frac{1}{9}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = \frac{1}{9}$$
или
$$- \frac{1}{9} + \left(\frac{1}{3}\right)^{x} = 0$$
или
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = \frac{1}{9}$$
или
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = \frac{1}{9}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{9} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{9} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{9}$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = v$$
или
$$x = - \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{9}$$
$$x_{1} = \frac{1}{9}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{9}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{9}$$
=
$$\frac{1}{90}$$
подставляем в выражение
$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x} < \frac{1}{9}$$
$$\sqrt[90]{\frac{1}{3}} < \frac{1}{9}$$

 89      
 --      
 90      
3   < 1/9
---      
 3       
      

но

 89      
 --      
 90      
3   > 1/9
---      
 3       
      

Тогда
$$x < \frac{1}{9}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{9}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

2 < x

$$2 < x$$

Быстрый ответ 2

(2, oo)

$$x\ in\ \left(2, \infty\right)$$

График