1/x<x^2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1/x<x^2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

1    2
- < x 
x     

$$\frac{1}{x} < x^{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{1}{x} < x^{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{1}{x} = x^{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{1}{x} = x^{2}$$
преобразуем
$$\frac{1}{x^{3}} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1}}$$
или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$\frac{1}{z^{3}} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$\frac{1}{r^{3}} e^{- 3 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{- 3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$- i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$- \sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = - \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Данные корни
$$x_{1} = 1$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
=
$$\frac{9}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{1}{x} < x^{2}$$
$$\frac{1}{\frac{9}{10}} < \left(\frac{9}{10}\right)^{2}$$

        81
10/9 < ---
       100

но

        81
10/9 > ---
       100

Тогда
$$x < 1$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > 1$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

Or(And(-oo < x, x < 0), And(1 < x, x < oo))

$$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 0) U (1, oo)

$$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(1, \infty\right)$$

График