1-2/|x|-23/(x^2)<=0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1-2/|x|-23/(x^2)<=0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     2    23     
1 - --- - -- <= 0
    |x|    2     
          x      

$$1 - \frac{2}{\left|{x}\right|} - \frac{23}{x^{2}} \leq 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$1 - \frac{2}{\left|{x}\right|} - \frac{23}{x^{2}} \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$1 - \frac{2}{\left|{x}\right|} - \frac{23}{x^{2}} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$1 - \frac{2}{\left|{x}\right|} - \frac{23}{x^{2}} = 0$$
преобразуем
$$1 - \frac{2}{\left|{x}\right|} - \frac{23}{x^{2}} = 0$$
$$1 - \frac{2}{\left|{x}\right|} - \frac{23}{x^{2}} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \left|{x}\right|$$
Дано уравнение:
$$1 - \frac{23}{x^{2}} - \frac{2}{w} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 1

b1 = 1/(1 - 23/x^2)

a2 = 1

b2 = w/2

зн. получим ур-ние
$$\frac{w}{2} = \frac{1}{1 - \frac{23}{x^{2}}}$$
$$\frac{w}{2} = \frac{1}{1 - \frac{23}{x^{2}}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w/2 = 1/1+1/23/x+1/2

Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:

w/2 = 1/(1 - 23/x^2)

Разделим обе части ур-ния на 1/2

w = 1/(1 - 23/x^2) / (1/2)

Получим ответ: w = 2*x^2/(-23 + x^2)
делаем обратную замену
$$\left|{x}\right| = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -5.89897948557$$
$$x_{3} = 5.89897948557$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -5.89897948557$$
$$x_{3} = 5.89897948557$$
Данные корни
$$x_{2} = -5.89897948557$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{3} = 5.89897948557$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5.99897948557$$
=
$$-5.99897948557$$
подставляем в выражение
$$1 - \frac{2}{\left|{x}\right|} - \frac{23}{x^{2}} \leq 0$$

            2                   23             
1 - ----------------- - ------------------ <= 0
                    1                    1     
    |-5.99897948557|    /              2\      
                        \-5.99897948557 /      

0.0275036856500833 <= 0

но

0.0275036856500833 >= 0

Тогда
$$x \leq -5.89897948557$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -5.89897948557 \wedge x \leq 0$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq -5.89897948557 \wedge x \leq 0$$
$$x \geq 5.89897948557$$

Быстрый ответ

  /   /             ___       \     /         ___            \\
Or\And\x <= 1 + 2*\/ 6 , 0 < x/, And\-1 - 2*\/ 6  <= x, x < 0//

$$\left(x \leq 1 + 2 \sqrt{6} \wedge 0 < x\right) \vee \left(- 2 \sqrt{6} - 1 \leq x \wedge x < 0\right)$$

Быстрый ответ 2

          ___                   ___ 
[-1 - 2*\/ 6 , 0) U (0, 1 + 2*\/ 6 ]

$$x \in \left[- 2 \sqrt{6} - 1, 0\right) \cup \left(0, 1 + 2 \sqrt{6}\right]$$

График