1-tan(x)^2>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1-tan(x)^2>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2       
1 - tan (x) > 0

$$- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
$$- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-1) * (1) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
делаем обратную замену
$$\tan{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (1 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  4    10

=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 > 0$$

       2/  pi   1 \    
1 - tan |- -- - --| > 0
        \  4    10/    

       2/1    pi\    
1 - tan |-- + --| > 0
        \10   4 /    

Тогда
$$x < - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

   /-pi           pi\
And|---- < x, x < --|
   \ 4            4 /

$$- \frac{\pi}{4} < x \wedge x < \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ 2

 -pi   pi 
(----, --)
  4    4  

$$x \in \left(- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$$

График