1+tan(x)^2>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 1+tan(x)^2>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

       2       
1 + tan (x) > 0

$$\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
$$\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \tan{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = i$$
$$w_{2} = - i$$
делаем обратную замену
$$\tan{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\tan{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w \right )}$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (i \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \infty i$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (- i \right )}$$
$$x_{2} = \pi n - \infty i$$
Данное ур-ние не имеет решений,
значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
проверим
подставляем произвольную точку, например

x0 = 0

$$\tan^{2}{\left (0 \right )} + 1 > 0$$

1 > 0

зн. неравенство выполняется всегда

Быстрый ответ

Данное неравенство верно выполняется всегда