(50*3^x-100+50*3^(-x))/(3 ... x+1)<=(15*3^x-15)/(3^x+1) (неравенство)

Укажите решение неравенства: (50*3^x-100+50*3^(-x))/(3^x+3^(-x)+2)-(20+20*3^x)/(3^x+1)<=(15*3^x-15)/(3^x+1) (множество решений неравенства)

Вы ввели

    x             -x            x        x     
50*3  - 100 + 50*3     20 + 20*3     15*3  - 15
-------------------- - ---------- <= ----------
     x    -x              x             x      
    3  + 3   + 2         3  + 1        3  + 1  

$$\frac{50 \cdot 3^{x} - 100 + 50 \cdot 3^{- x}}{3^{x} + 2 + 3^{- x}} - \frac{20 \cdot 3^{x} + 20}{3^{x} + 1} \leq \frac{15 \cdot 3^{x} - 15}{3^{x} + 1}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{50 \cdot 3^{x} - 100 + 50 \cdot 3^{- x}}{3^{x} + 2 + 3^{- x}} - \frac{20 \cdot 3^{x} + 20}{3^{x} + 1} \leq \frac{15 \cdot 3^{x} - 15}{3^{x} + 1}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{50 \cdot 3^{x} - 100 + 50 \cdot 3^{- x}}{3^{x} + 2 + 3^{- x}} - \frac{20 \cdot 3^{x} + 20}{3^{x} + 1} = \frac{15 \cdot 3^{x} - 15}{3^{x} + 1}$$
Решаем:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{50 \cdot 3^{x} - 100 + 50 \cdot 3^{- x}}{3^{x} + 2 + 3^{- x}} - \frac{20 \cdot 3^{x} + 20}{3^{x} + 1} \leq \frac{15 \cdot 3^{x} - 15}{3^{x} + 1}$$
$$- \frac{\frac{20}{3^{\frac{11}{10}}} + 20}{\frac{1}{3^{\frac{11}{10}}} + 1} + \frac{\left(-1\right) 100 + \frac{50}{3^{\frac{11}{10}}} + 50 \cdot 3^{\left(-1\right) \left(- \frac{11}{10}\right)}}{\frac{1}{3^{\frac{11}{10}}} + 2 + 3^{\left(-1\right) \left(- \frac{11}{10}\right)}} \leq \frac{\left(-1\right) 15 + \frac{15}{3^{\frac{11}{10}}}}{\frac{1}{3^{\frac{11}{10}}} + 1}$$

                       9/10            9/10             9/10
           10___   50*3            20*3              5*3    
-100 + 150*\/ 3  + --------   20 + --------    -15 + -------
                      9               9                 3   
--------------------------- - ------------- <= -------------
                   9/10              9/10             9/10  
          10___   3                 3                3      
    2 + 3*\/ 3  + -----         1 + -----        1 + -----  
                    9                 9                9    

но

                       9/10            9/10             9/10
           10___   50*3            20*3              5*3    
-100 + 150*\/ 3  + --------   20 + --------    -15 + -------
                      9               9                 3   
--------------------------- - ------------- >= -------------
                   9/10              9/10             9/10  
          10___   3                 3                3      
    2 + 3*\/ 3  + -----         1 + -----        1 + -----  
                    9                 9                9    

Тогда
$$x \leq -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 2$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

   /              log(9)\
And|-1 <= x, x <= ------|
   \              log(3)/

$$-1 \leq x \wedge x \leq \frac{\log{\left(9 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

     log(9) 
[-1, ------]
     log(3) 

$$x\ in\ \left[-1, \frac{\log{\left(9 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right]$$

График