(5*x-2)^2/(x-3)>=(4-20*x+25*x^2)/(24-11*x+x^2) (неравенство)

Укажите решение неравенства: (5*x-2)^2/(x-3)>=(4-20*x+25*x^2)/(24-11*x+x^2) (множество решений неравенства)

Вы ввели

         2                   2
(5*x - 2)     4 - 20*x + 25*x 
---------- >= ----------------
  x - 3                     2 
               24 - 11*x + x  

$$\frac{\left(5 x - 2\right)^{2}}{x - 3} \geq \frac{25 x^{2} - 20 x + 4}{x^{2} - 11 x + 24}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{\left(5 x - 2\right)^{2}}{x - 3} \geq \frac{25 x^{2} - 20 x + 4}{x^{2} - 11 x + 24}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{\left(5 x - 2\right)^{2}}{x - 3} = \frac{25 x^{2} - 20 x + 4}{x^{2} - 11 x + 24}$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{2}{5}$$
$$x_{2} = 9$$
$$x_{1} = \frac{2}{5}$$
$$x_{2} = 9$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{2}{5}$$
$$x_{2} = 9$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2}{5}$$
=
$$\frac{3}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{\left(5 x - 2\right)^{2}}{x - 3} \geq \frac{25 x^{2} - 20 x + 4}{x^{2} - 11 x + 24}$$
$$\frac{\left(\left(-1\right) 2 + 5 \cdot \frac{3}{10}\right)^{2}}{\frac{3}{10} - 3} \geq \frac{- \frac{3 \cdot 20}{10} + 25 \left(\frac{3}{10}\right)^{2} + 4}{- \frac{3 \cdot 11}{10} + \left(\frac{3}{10}\right)^{2} + 24}$$

          25 
-5/54 >= ----
         2079

но

         25 
-5/54 < ----
        2079

Тогда
$$x \leq \frac{2}{5}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{2}{5} \wedge x \leq 9$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2

Быстрый ответ

Or(And(9 <= x, x < oo), And(3 < x, x < 8), x = 2/5)

$$\left(9 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(3 < x \wedge x < 8\right) \vee x = \frac{2}{5}$$

Быстрый ответ 2

{2/5} U (3, 8) U [9, oo)

$$x\ in\ \left\{\frac{2}{5}\right\} \cup \left(3, 8\right) \cup \left[9, \infty\right)$$

График