5^x>=sqrt(5) (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5^x>=sqrt(5) (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x      ___
5  >= \/ 5 

$$5^{x} \geq \sqrt{5}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$5^{x} \geq \sqrt{5}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{x} = \sqrt{5}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{x} = \sqrt{5}$$
или
$$5^{x} - \sqrt{5} = 0$$
или
$$5^{x} = \sqrt{5}$$
или
$$5^{x} = \sqrt{5}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v - \sqrt{5} = 0$$
или
$$v - \sqrt{5} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v - sqrt5 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v - sqrt(5))/v

v = 0 / ((v - sqrt(5))/v)

делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$
$$x_{1} = \sqrt{5}$$
$$x_{1} = \sqrt{5}$$
Данные корни
$$x_{1} = \sqrt{5}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt{5}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \sqrt{5}$$
подставляем в выражение
$$5^{x} \geq \sqrt{5}$$
$$5^{- \frac{1}{10} + \sqrt{5}} \geq \sqrt{5}$$

   1      ___         
 - -- + \/ 5       ___
   10         >= \/ 5 
5                
         

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \sqrt{5}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

And(1/2 <= x, x < oo)

$$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

[1/2, oo)

$$x \in \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$

График