5^x-1<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 5^x-1<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x         
5  - 1 <= 1

$$5^{x} - 1 \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$5^{x} - 1 \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$5^{x} - 1 = 1$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$5^{x} - 1 = 1$$
или
$$\left(5^{x} - 1\right) - 1 = 0$$
или
$$5^{x} = 2$$
или
$$5^{x} = 2$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$v - 2 = 0$$
или
$$v - 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 2$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
подставляем в выражение
$$5^{x} - 1 \leq 1$$
$$\left(-1\right) 1 + 5^{\frac{19}{10}} \leq 1$$

        9/10     
-1 + 5*5     <= 1
     

но

        9/10     
-1 + 5*5     >= 1
     

Тогда
$$x \leq 2$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 2$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1

Быстрый ответ

     log(2)
x <= ------
     log(5)

$$x \leq \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

      log(2) 
(-oo, ------]
      log(5) 

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}\right]$$

График