7^(2*x+1)+8*7^x+1<0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 7^(2*x+1)+8*7^x+1<0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2*x + 1      x        
7        + 8*7  + 1 < 0

$$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 < 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 = 0$$
или
$$\left(8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 7^{x}$$
получим
$$7 v^{2} + 8 v + 1 = 0$$
или
$$7 v^{2} + 8 v + 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 7$$
$$b = 8$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (7) * (1) = 36

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = - \frac{1}{7}$$
Упростить
$$v_{2} = -1$$
Упростить
делаем обратную замену
$$7^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(7 \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{7}$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{7}$$
$$x_{2} = -1$$
Данные корни
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{7}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
подставляем в выражение
$$8 \cdot 7^{x} + 7^{2 x + 1} + 1 < 0$$
$$7^{2 \left(- \frac{11}{10}\right) + 1} + \frac{8}{7^{\frac{11}{10}}} + 1 < 0$$

     4/5      9/10    
    7      8*7        
1 + ---- + ------- < 0
     49       49      
    

но

     4/5      9/10    
    7      8*7        
1 + ---- + ------- > 0
     49       49      
    

Тогда
$$x < -1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -1 \wedge x < - \frac{1}{7}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Быстрый ответ

Данное неравенство не имеет решений

График