7^(-|x-3|)*log(6*x-x^2-7)/log(2)>=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 7^(-|x-3|)*log(6*x-x^2-7)/log(2)>=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 -|x - 3|    /       2    \     
7        *log\6*x - x  - 7/     
--------------------------- >= 1
           log(2)               

$$\frac{7^{- \left|{x - 3}\right|}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )} \geq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{7^{- \left|{x - 3}\right|}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )} \geq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{7^{- \left|{x - 3}\right|}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{7^{- \left|{x - 3}\right|}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )} = 1$$
преобразуем
$$-1 + \frac{7^{- \left|{x - 3}\right|}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )} = 0$$
$$\frac{7^{- \left|{x - 3}\right|}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \log{\left (2 \right )}$$
Дано уравнение:
$$-1 + \frac{1}{w} 7^{- \left|{x - 3}\right|} \log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )} = 0$$
Используем правило пропорций:
Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
В нашем случае

a1 = 1

b1 = -1

a2 = -7^(-|-3 + x|)

b2 = w/log(-7 - x^2 + 6*x)

зн. получим ур-ние
$$\frac{w}{\log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )}} = -1 \left(- 7^{- \left|{x - 3}\right|}\right)$$
$$\frac{w}{\log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )}} = 7^{- \left|{x - 3}\right|}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w/log-7+x+2+6*x = 7^(-|-3 + x|)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w/log-7+x+2+6*x = 7^-3+x

Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:

w/log(-7 - x^2 + 6*x) = 7^-3+x

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:

             w                 -|-3 + x|
7 + ------------------- = 7 + 7         
       1/      2      \                 
    log \-7 - x  + 6*x/                 

Разделим обе части ур-ния на (7 + w/log(-7 - x^2 + 6*x))/w

w = 7 + 7^(-|-3 + x|) / ((7 + w/log(-7 - x^2 + 6*x))/w)

Получим ответ: w = 7^(-|-3 + x|)*log(-7 - x^2 + 6*x)
делаем обратную замену
$$\log{\left (2 \right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Данные корни
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2.9$$
=
$$2.9$$
подставляем в выражение
$$\frac{7^{- \left|{x - 3}\right|}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (- x^{2} + 6 x - 7 \right )} \geq 1$$

 -|2.9 - 3|    /           2    \     
7          *log\6*2.9 - 2.9  - 7/     
--------------------------------- >= 1
                1                     
             log (2)                  

0.566452653484693     
----------------- >= 1
      log(2)          

но

0.566452653484693    
----------------- < 1
      log(2)         

Тогда
$$x \leq 3$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 3$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1