sin(3*x)*cos(x)-cos(3*x)*sin(x)<1/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: sin(3*x)*cos(x)-cos(3*x)*sin(x)<1/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

sin(3*x)*cos(x) - cos(3*x)*sin(x) < 1/2

$$- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} < \frac{1}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{3} = i \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} - \log{\left(- \sqrt{- \sqrt{3} + i} \right)}\right)$$
$$x_{4} = i \left(\frac{\log{\left(2 \right)}}{2} - \log{\left(- \sqrt{\sqrt{3} + i} \right)}\right)$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
подставляем в выражение
$$- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(x \right)} < \frac{1}{2}$$
$$- \sin{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12} \right)} \cos{\left(3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} + \sin{\left(3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} \cos{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12} \right)} < \frac{1}{2}$$

   /3    pi\    /1    5*pi\      /1    5*pi\    /3    pi\      
cos|-- + --|*sin|-- + ----| - cos|-- + ----|*sin|-- + --| < 1/2
   \10   4 /    \10    12 /      \10    12 /    \10   4 /      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi}{12}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi}{12}$$
$$x > \frac{5 \pi}{12}$$

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /5*pi            \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < pi||
  \   \            12/     \ 12             //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{12}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{12} < x \wedge x < \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi     
[0, --) U (----, pi)
    12      12      

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{12}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{12}, \pi\right)$$

График